avangard-pressa.ru

Раздел «Сопротивление материалов» - Математика

Приступить к решению задач раздела «Сопротивление материалов» следует после изучения основных вопросов программы предмета и повторения темы «Статика» (методика определения реакций связей балок и стержневых конструкций). В процессе изучения учебного материала требуется внимательно разобрать соответствующие примеры решения задач, которые имеются в учебниках и пособиях. Затем самостоятель­но решить несколько аналогичных задач и только после этого выпол­нить контрольное задание.

Изучая соответствующий учебный материал, следует иметь четкое представление о методе сечений для определения внутренних силовых факторов (ВСФ). Легко запомнить все пункты метода сечений, если записать их словом «РОЗУ»:

Р – разрезаем тело плоскостью на две части,

О – отбрасываем одну часть,

З – заменяем действие отброшен­ной части внутренними силами,

У – уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равновесия определяем внутренние силы.

В общем случае нагружения тела внутренние силы (силы упругости), возникающие в поперечном сечении нагруженного бруса, могут быть заме­нены их статическим эквивалентом — главным вектором и главным моментом. Если последние разложить по осям координат (рис. 13), то получим шесть составляющих с общим названием «внутренне силовые факторы»: Nz – продольная сила; Qx, Qy – поперечные силы; М2 – крутящий момент; Мх и Му – изгибающие моменты.

Рис. 13

Числовая мера интенсивности внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения у какой-либо точки, называется напряже­нием.

Шесть внутренних силовых факторов вместе с известными внеш­ними силами на оставшейся части бруса образуют уравновешенную систему сил, для которой можно составить шесть уравнений равновесия. В каждое из этих уравнений входит один из неизвестных внутренних силовых факторов. Решая уравнение, найдем:

Нормальное напряжение а – следствие возникновения продоль­ной силы Nz илиизгибающих моментов Мх и Му; касательные на­пряжения τ – следствие возникновения поперечных сил Qx и Qy или крутящего момента Mz.

Числовое значение напряжений в поперечных сечениях тела зави­сит не только от возникновения силового фактора, но и от размеров поперечного сечения – от соответствующей геометрической характе­ристики прочности сечения.

Условием прочности при расчете по допускаемому напряжению называется неравенство вида σ≤[σ] или τ≤[τ], где [σ]и [τ] - до­пускаемые напряжения, т. е. максимальные значения напряжений, при которых гарантируется прочность детали.

гдеσпред – предельное напряжение для материала рассчитываемой детали; [n] – коэффициент запаса прочности детали, зависит от ответственности детали, срока службы, точности расчета и других факторов.

При решении задач следует применять единицы Международной системы (СИ), а также кратные и дольные от них.

Единицей давления, механического напряжения и модуля упру­гости установлен паскаль (1 Па = 1 Н/м2) и кратная единица – мегапаскаль (1 МПа = 106 Па). Отметим, что 1 МН/м2 = 1 Н/мм2.

К решению первой задачивторой контрольной работы (№ 61-70) следует приступать после изучения темы «Растяжение и сжатие», метода сечений и разбора решенных примеров в данном пособии и рекомендуемой литературе.

Задача требует от учащегося умения определить продольные си­лы, нормальные напряжения, удлинения и построить эпюры N и σ.

Растяжением (сжатием) называют такое нагружение бруса, при котором

в

поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N, в

любом поперечном сечении бруса численно равная алгебраической сумме внешних сил, действую­щих на оставленную часть бруса.

Простейшие случаи растяжения и сжатия представлены на рис. 14, а, б; в центрах тяжести торцевых поперечных сечений бруса приложены две равные противоположно направленные силы, линии, дей­ствия которых совпадают с осью бруса.

Рис. 14

Продольные силы N, соответствующие деформации растяжения, считаются положительными (рис. 14, в),

в

противном случае они отри­цательные (рис. 14, г).

Удлинение (укорочение) бруса или отдельных его участков опре­деляется по формуле Гука

которую можно представить еще в виде Δl = σ(1/Е ), помня, что N/A

= σ.

Пример 9. Для двухступенчатого бруса (рис. 15, а) определить и построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Опреде­лить удлинение (укорочение) бруса. Модуль упругости Е = 2·105 Н/мм2.

Рис. 15

Решение. Разделим брус на участки, границы которых опре­деляются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние нагрузки. При составлении уравнений равновесия надо использовать правила знаков проекций сил, принятых в теорети­ческой механике, а именно: проекция силы берется со знаком плюс, если ее направление совпадает с положительным направлением оси. Мысленно рассечем брус в пределах первого участка и отбросим верхнюю часть бруса (рис. 15, б). Вместо отброшенной верхней части приложим внутреннюю силу N1, которая уравновешивается силой F1:

Аналогично, в пределах участка II (рис. 15, в) отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим оставленную часть бруса с действующей силой F1, которая уравновешивается продольной силой NII:

Продольная сила на участке III (рис. 15, г) уравновешивается в сечении внешними силами F1 и F2 и равна их алгебраической сумме:

В пределах каждого участка нагружения продольная сила по­стоянна, а потому на эпюре изобразится линией, параллельной оси бруса. Эпюра штрихуется линиями, перпендикулярными оси бруса.

Построим эпюру N (рис. 15, д). Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем значение продольной силы, вызванной сжатием участка, а правее – растяжением. В пределах участка III брус сжат (NIII= – 10 кН), в пределах участков II и I брус растянут (NII = NI –40 кН).

Для определения напряжений а в поперечных сечениях значение продольных сил необходимо разделить на площади соответствующих сечений

Площадь поперечного сечения бруса первого участка

Площадь поперечного сечения бруса на участках II и III

Находим напряжения на отдельных участках бруса и строим эпюру (рис. 15, е):

В соответствии с полученными значениями напряжений строим эпюру нормальных напряжений.

При построении эпюр продольных сил и нормальных напряжений нет необходимости изображать отдельно отсеченные части бруса, доста­точно обратить внимание на то, что продольная сила, возникающая в произвольном сечении, равна алгебраической сумме всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения, а нормальное напряжение равно отношению продольной силы к соответствующей площади поперечного сечения. Кроме того, при по­строении эпюр и проверке их правильности следует руководствоваться следующими правилами:

1. Скачки на эпюрах N имеют место в точках приложения сосредоточенных сил. Величина скачка равна внешней силе.

2. На эпюре а скачки имеют место не только в точках приложе­ния сосредоточенных сил, но и в местах изменения площади поперечно­го сечения.

3. Знаки на участках эпюры а должны совпадать со знаками на соответствующих участках эпюры N.

Полное удлинение бруса можно найти, воспользовавшись эпюрой N, представленной на рис. 15, д, т. е. полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений его участков:

или

Во второй задаче (№ 71-80) рассматриваются статически неоп­ределимые системы с числом неизвестных реакций связей, на единицу превышающем число уравнений статики (уравнений равновесия), кото­рые можно составить для этой системы. Поэтому при решении подоб­ных задач рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут неизвестные реакции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникшие в стержне (уравнение проекций всех внешних сил на ось и уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, которым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) рассматривая с геометрической точки зрения картину дефор­мации, составить уравнение перемещений, в которое войдут те же не­известные реакции, что и в уравнении статики;

5) произвести в уравнении перемещений необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно, определить искомые реакции связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого стержня (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку), выразить продольные силы через искомую нагрузку;

8) завершить решение задачи, производя заданный в ее условии расчет.

Исходя из условия прочности, можно производить три вида расче­тов: а) проверочный, при котором проверяется, выполнено ли условие прочности σ≤[σ] (или n≤[n]); б) определение допускаемой нагрузки; в) проектный, при котором определя­ются необходимые размеры попереч­ных сечений бруса, обеспечивающие заданную прочность.

Пример 10. Жесткий брус OD (рис. 16, а), шарнирно закрепленный в точке О, удерживается в равновесии с помощью стержней 1 и 2. В точке D
брус нагружен силой F = 40 кН. Оп­ределить напряжения в поперечных
сечениях обоих стержней, если а = 1 м, площади поперечных сечений соответственно А1 = 4 см2 и Аг = = 6 см2.

Рис. 16

Решение. Разрезаем стержни и заменяем их действие на брус силами N1 и N2 (рис. 16, б). В данном случае реакции шарнира О нас не интересуют, а в уравнение моментов относительно точки О (урав­нение равновесия статики)

входят обе неизвестные силы. Следовательно, задача один раз статиче­ски неопределима (уравнение проекций на оси х и у ничего не дают, так как в них войдут еще две неизвестные составляющие реакции шарнира О).

Для того чтобы составить дополнительное уравнение перемеще­ний, допустим, что после нагружения бруса узел С опустился на Δl2, а узел В – на Δl1. Из подобия треугольников ОВВ1 и ОСС1 полу­чим уравнение перемещений:

Так как Δl1 = N1l1/(E А1) и Δl2 = N2l2(E A2), a l2 = 2l1, что сле­дует из рассмотрения тех же треугольников ОВВ1 и ОСС1, то уравнение (2) примет вид

Подставив в это уравнение значения A1 = 4 см2 и А2 = 6 см2, находим, что N2 = 1,5N1.

Решив последнее уравнение совместно с уравнением (1), получим

Теперь легко найти напряжения в поперечных сечениях стержней, помня, что А1 = 4 см2 = 400 мм2 и А2 = 6 см2 = 600 мм2,

Пример 11. Абсолютно жесткий брус (рис. 17, а) опирается на шарнирно неподвижную опору О и прикреплен к двум стержням в точках В и С с помощью шарниров. Определить: а) нормальные силы, возникшие в стержнях; б) допускаемую нагрузку [F], приравняв боль­шее из напряжений, возникшее в одном из стержней, допускаемому напряжению [σ] = 160 Н/мм2.

Рис. 17

Решение. Разрезаем стержни и вводим искомые силы N1 и N2 (рис. 17, б), составляем уравнение равновесия, приняв за центр момен­тов шарнир О:

которое после деления обеих частей на а приобретает вид

В результате удлинения стержней брус займет новое положение (рис. 17, б). Из подобия треугольников OBB1 и ОСС1 следует про­порция Δl1/2а = Δl2/5а, из которой получаем зависимость между удлинениями стержней: 5 Δl1 – 2 Δl2 = 0.

Выразим в этом уравнении перемещения шарниров В (Δl1) и (Δl2)
по формуле Гука:

Умножим обе части уравнения на Е и, подставив числовые значения величин l1 = 4·103 мм, l2 = 3·103 мм, А1 = 20·102 мм2 и А2= 10·102 мм2, получим уравнение перемещений в окончательном виде:

5N1 – 3N2 = 0

Решив совместно уравне­ния (1), (2), находим значения искомых сил:

По найденным значениям внутренних сил находим напря­жения в сечениях стерж­ней:

σ2>σ1, следовательно, допускаемую нагрузку определяем по напря­жениям в стержне 2, помня, что [σ] = 160 и 16·10-5[F] = 160·[F] = 106 Н = 1000 кН.

Третью задачу (№ 81-90) следует решать после изучения темы «Практические расчеты на срез и смятие» и разбора решенного примера.

Детали для соединения отдельных элементов машин (заклепки, болты, штифты и т. п.) воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси. Расчеты таких деталей базируются на следующих основных допущениях: 1) в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила Q; 2) касательные напряжения в поперечном сечении распределены по его площади равно­мерно; 3) если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (болтами и т. п.), то принимается, что все они нагружены одинаково.

Условие прочности при срезе

где τср – расчетное касательное напряжение среза, возникающее в поперечном сечении рассчитываемой детали; k – количество срезов од­ной заклепки; Q – поперечная сила; i – число болтов, заклепок и т. п.; [τср] = (0,25...0,35)σт – допускаемое напряжение среза, где σт – предел текучести материала болта.

Расчетная формула на смятие имеет вид

где Асм – расчетная площадь смятия; Асм= δmin·d; [σсм] – допускае­мое напряжение на смятие, принимают по табл. 7; δmin – минималь­ная толщина соединяемых деталей; d – диаметр заклепки.

Таблица 7

Материал конструкции Допускаемые напряжения, Н/мм2 при продольных отверст. при сверленых отверст. [τ]ср [σ] см [τ]ср [σ] см Сталь Ст2 Сталь СтЗ

В заклепочном соединении проверяется прочность листа по формуле

где m – число заклепок, попадающих в одно поперечное сечение листа; b – ширина листа; δ – толщина листа; d – диаметр заклепок.

Пример 12. Определить высоту h и диаметр d головки стержня, нагруженного растягивающей силой F (рис. 18). Допускае­мые напряжения для стали СтЗ при продавленных отверстиях прини­маем [σ] = 140Н/мм2 (см. табл. 7).

Рис. 18

Решение. Определяем допускаемую нагрузку из 'условия проч­ности стержня на растяжение:

Определяем высоту головки из условия прочности на срез, принимая

[

τ

]ср=

100Н/мм2.

Определяем диаметр опорной поверхности головки из условия ее прочности на смятие, принимая [σ]см= 280 Н/мм2.

К решению четвертой задачи (№ 91-100) следует приступить после изучения темы «Кручение» и разбора решенного примера.

В соответствии с Международной системой единиц (СИ) заданную в условии частоту вращения n (об/мин) необходимо выразить в единицах угловой скорости (рад/с), применив формулу ώ = πn/30. Тогда зависимость между передаваемой мощностью Р (кВт), угловой скоростью ώ (рад/с) и внешним моментом Мвр (Н·м), скручивающим вал, запишется в виде Mвр = Р/ώ .

Допускаемый угол закручивания на практике обычно задается в град/м, поэтому для перевода в единицы СИ это значение необходимо умножить на π/180°. Например, если дано [φ°] = 0,4 град/м, то 0,4 град/м = 0,4π/180° = 0,007 рад/м = 7·10-3 рад/м.

Пример 13. Для стального вала (рис. 19, а)определить из условия прочности требуемые диаметры каждого участка и углы закручивания этих участков. Угловую скорость вала принять ώ = 100 рад/с, допус­каемое напряжение [τ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига G = 0,8·105 Н/мм2.

Рис. 19

Решение. Вал вращается с постоянной угловой скоростью, сле­довательно, система вращающих моментов уравновешена. Мощность, подводимая к валу без учета потерь на трение, равна сумме мощ­ностей, снимаемых с вала:

Определяем вращающие моменты на шкивах:

Для построения эпюр крутящих моментов проведем базовую (нуле­вую) линию параллельно оси вала и, используя метод сечений, най­дем значения крутящего момента на каждом участке, отложим най­денные значения перпендикулярно базовой линии.

Вал имеет три участка, гра­ницами которых являются сечения, в которых приложены внешние моменты. В пределах каждого участка значение крутящего момента сохраняется постоянным (рис. 19, б):

Кручением называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Мк.

Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на остав­ленную часть вала в плоскостях перпендикулярно оси вала и приложен­ных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

При вычислении крутящих моментов целесообразно установить правило знаков: рассматривая любую из оставленных частей бруса со стороны сечения, внешние моменты, действующие по ходу часовой стрелки, считать положительными, действующие против хода часовой стрелки – отрицательными.

Из условия прочности диаметр вала на первом участке опреде­ляем по формуле

откуда

На втором участке

На третьем участке

Вычисляем полярные моменты инерции сечений вала:

Углы закручивания соответствующих участков вала:

Пятую задачу контрольной работы (№ 101-110) следует решать после изучения темы «Изгиб» и внимательного разбора примеров 14 и 15 настоящего пособия.

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора – поперечная сила Qy и изгибающий момент Мх. Поперечная сила, возникающая в произволь­ном поперечном сечении, численно равна алгебраической сумме всех внешних сил (если все силы параллельны оси у), действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку по одну сторону, от рассматриваемого сечения относительно той точки продольной оси балки, через которую проходит рассматривае­мое сечение.

Для отыскания опасного сечения строят эпюры Qy и Мх, исполь­зуя метод сечения.

Условимся о правиле знаков: внешняя сила F, стремящаяся сдвинуть левую часть балки вверх относительно правой или (что то же самое) правую часть вниз относительно левой, вызовет возникновение положительной поперечной силы (рис. 20, a).

Рис. 20

Внешняя сила или момент, изгибающие балку таким образом, что сжатые волокна находятся сверху балки (рис. 20, б), вызывают положи­тельный изгибающий момент, который на эпюре Мх откладывается вверх от оси абсцисс, т. е. в сторону сжатых волокон, иначе можно сказать, что эпюры изгибающих моментов строятся на сжатом волокне.

Для балок, имеющих много участков нагружения, т. е. нагружен­ных комбинацией нагрузок, целесообразно строить эпюры по характер­ным сечениям, а именно: вычислять поперечные силы и изгибающие моменты только для сечений, в которых эпюры претерпевают изменения, а затем, зная закон изменения эпюры между найденными сечениями, соединить их соответствующими линиями. К характерным относятся сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты, а также сечения, где начинается или кончается распределенная нагрузка.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сторону от рассматриваемого сечения, отбросить. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Qy и Мх, причем знак их надо определить по тому действию, какое оказывают внешние силы на оставленную часть балки в соответствии с принятым ранее правилом знаков.

При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, a Qy и Мx находятся по силам, действующим на левую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, отбра­сывается левая часть, a Qy и Мх определяются по силам, дей­ствующим на правую часть балки.

Для построения эпюр необходимо запомнить следующие правила.

1. На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра Qy – прямая, параллельная базовой линии, а эпюра Мх – наклонная прямая.

2. Под сосредоточенной силой на эпюре Qy наблюдается скачок, численно равный приложенной внешней силе, а на эпюре Мх – излом.

3. В точке приложения сосредоточенной пары сил на эпюре мо­мента происходит скачок на размер момента этой пары, а эпюра Qy не претерпевает изменения.

4. На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Qy выражается наклонной прямой, а эпюра Мг – параболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки.

5. Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.

6. Если на границе действия распределенной нагрузки не прило­жено сосредоточенных сил, то на эпюре Qy участок, параллельный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а параболическая и наклонная части эпюры Мх сопрягаются плавно без изгиба.

7. Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю, за исключением случая, когда в концевом сечении действует сосредоточенная пара сил. В этом случае изгибающий момент в конце­вом сечении балки равен моменту действующей пары сил.

8. В сечении, соответствующем заделке, Qy и Мх численно равны опорной реакции и реактивному мо­менту.

Решать задачу рекомендуется в такой последовательности:

1) определить реакции опор балки (по двум уравнениям моментов: од­
но – относительно левой опоры, вто­рое – относительно правой), а затем
обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на
ось, перпендикулярную балке;

2) построить эпюру поперечных сил;

3) построить эпюру изгибающих моментов (для этого целесооб­разно использовать метод построения по характерным, сечениям);

4) по эпюре изгибающих моментов определить расчетный (наи­больший по абсолютному значению) изгибающий момент, выразив его в Н·мм;

5) в выражении условия прочности σ = Mи/Wx≤[o] принять σ = [σ] и определить требуемый осевой момент сопротивления попереч­ного сечения балки;

6) выразить значение Wх в мм3 (при подстановке в расчетную формулу Wx = Mx/[σ] значения Мх выражаются в Н·мм, а значения [σ] – в Н/мм2, результат получим в мм3) и с помощью таблиц соответ­ствующих ГОСТов по найденному значению Wx подобрать необходимый номер профиля швеллера (ГОСТ 8240-72) или двутавра (ГОСТ 8239-72); при решении задач контрольной работы, т.е. в учебных целях, можно использовать старые ГОСТы 1956 г. (ГОСТ 8209-56 «Балки двутавровые» и ГОСТ 8240-56 «Швеллеры»), которые имеются в любом сборнике задач по сопротивлению материалов, изданном до 1976 г.

Пример 14. Для балки (рис. 21, а) построить эпюры поперечных сил, и изгибающих моментов, если сосредоточенные силы F1 = 4 кН и F = 8 кН, момент М = 11 кН·м, расстояние а=2м, b = 4м, с = 3м.

Рис. 21

Решение. Определим опорные реакции:

откуда

откуда

Для проверки составляем сумму проекций всех сил на вертикаль­ную ось у:

Строим эпюру поперечных сил (рис. 21, b).

В сечении К: QyK= – F1 = – 4 кН.

В сечении A: QyAлев= – F1 = – 4 кН ;

QyAправ= – F1+RA= – 4 + 7 = 3 кН.

В сечении А: на эпюре Qy получается скачок на величину реак­ции RA.

В сечении D:

В сечении В: QyB= – RB= – 5 кН.

Строим эпюру изгибающих моментов по характерным сечениям К, A, D, В (рис. 21, в).

В сечении К изгибающий момент МхК= 0, так как в этом сечении нет сосредоточенного момента.

В сечении А рассмотрим левую часть, на которую действует сосредоточенная сила F1

В сечении В действует сосредоточенный момент М:

В сечении D рассмотрим правую часть, на которую действует сила RB и сосредоточенный момент М:

Соединим полученные точки эпюры на участках DB и AD наклон­ными прямыми.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чернилевский, Д. В., Лаврова, Е. В., Романов, В. Н. Техническая механика. – М., 1982.

2. Техническая механика / Л. А. Эрдеди, Ю. А. Медведев, И. В. Ани­кин, А. С. Чуйков. – М., 1980.

3. Аркуша, А. И., Фролов, М. И. Техническая механика. – М., 1983.

4. Аркуша, А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике. – М., 1976.

5. Файн, А. М. Сборник задач по теоретической механике. – М., 1978.